Integrales

¿Qué tienen que ver las integrales con las derivadas que vimos en la entrada anterior? Sencillo, tal como comentamos anteriormente son la otra cara de la moneda.
Si quiero saber cual ha sido el desplazamiento total de mi vehículo, sumo los pequeños desplazamientos que he realizado en cada instante. Como para conocer el desplazamiento multiplico la velocidad por el tiempo que he conducido a esa velocidad tal como hemos hecho en la primera de nuestras ecuaciones lo que vamos a hacer es multiplicar mi velocidad en cada instante por la duración de ese instante y luego sumarlo todo. A cada instante de tiempo lo llamaré diferencial de tiempo y lo representaré por dt, al desplazamiento correspondiente a ese instante lo llamaré diferencial de desplazamiento y
lo representaré por ds y a la velocidad instantánea seguiré representándola por v.
$$ds = v\cdot dt$$
Y ahora a la suma de todos los desplazamientos la llamo integral y la  representaré por:

$$Desplazamiento\ total = \displaystyle\int_{}^{} ds = \int{}^{} v\cdot dt$$

O vectorialmente:

 $$\overrightarrow{Desplazamiento\ total} = \displaystyle\int_{}^{} d\vec{s} = \int{}^{} \vec{v}\cdot dt$$

Como podemos ver, para nuestro cometido, la integral es sencillamente una suma. Al utilizar para estos cálculos diferenciales la notación de Leibnitz vemos que podemos despejar la ecuación \(ds = v\cdot dt \) directamente de la ecuación \(v = {ds \over dt}\) considerándola un quebrado de diferenciales.