Movimiento circular uniforme (M.C.U.)
Podemos imaginar un punto en el borde del tocadiscos cuya posición se define mediante un vector (o una flecha) con un extremo en el centro del disco y el otro en el punto situado en su borde. Si dibujáramos tal flecha con tiza sobre el tocadiscos veríamos como gira sin cesar a velocidad constante. Evidentemente nuestro punto tiene una velocidad, pero cada punto del disco se mueve con una velocidad distinta. Esta velocidad depende de lo alejado que se encuentre el punto del disco. Pero el disco en su conjunto gira con una velocidad constante.
Este concepto es lo que definimos como velocidad angular. En nuestro caso sería el ángulo que barre la flecha que hemos dibujado sobre el disco por unidad de tiempo. Hablando de discos lo habitual es referirnos a su velocidad de rotación como, por ejemplo, 33 r.p.m, es decir las revoluciones o vueltas por minuto. Esta forma de expresar la velocidad de rotación en la que no se utilizan ángulo sino vueltas completas el lo que llamamos frecuencia de rotación. En unidades del Sistema internacional (S.I.) la frecuencia se mide en vueltas por segundo o hercios (Hz). Dado que cada vuelta que gira nuestra flecha barre un ángulo de 2π radianes (rad), y que un minuto consta de 60 segundos, un disco que gire a 33 r.p.m. tendría la siguiente velocidad angular, incluyendo las fracciones adecuadas para realizar el cambio de unidades:
$$ \begin{gather}\omega = 33 \cdot {rev \over minuto} \cdot {2\pi\ rad \over 1\ rev}\cdot {1\ minuto \over 60\ segundos} = \\ = {66\pi\ rad \over 60\ segundos} = 3,458 {rad \over segundo}\end{gather}$$
Antes de continuar estudiando el movimiento circular necesitamos convenir el sentido de la velocidad angular según que el ángulo se barra a derechas o a izquierdas. Cuando el disco gira en el sentido de las manillas de un reloj consideraremos la velocidad angular apuntando hacia el fondo del tocadiscos y cuando gire en sentido contrario consideraremos la velocidad angular como un vector apuntando hacia arriba. Este criterio es arbitrario, pero coincide con el criterio estándar de la multiplicación de vectores. Se conoce como Regla de la Mano Derecha. Según esta regla si cierro el puño con el pulgar extendido (abducción del pulgar), el dedo índice describe cómo se produce el giro mientras que el pulgar indica el sentido del vector velocidad angular.
Al girar el disco del ejemplo anterior, el vector de posición de cualquiera de sus puntos barre un determinado ángulo. Si aplicamos este criterio al propio ángulo, podríamos definirlo como una magnitud vectorial perpendicular al plano osculador y sentido el que indique la regla de la mano derecha. De esta forma podemos establecer la siguiente ecuación:
$$\vec{\omega} = {d\vec{\theta} \over dt}$$
Otro concepto utilizado para describir la velocidad de rotación de un punto es el periodo que corresponde a la inversa de la frecuencia. Considerando cualquier punto del disco definido por su vector posición desde el centro del disco \(\vec{r}\) . El módulo de este vector coincidirá con la distancia al centro y lo representaremos por R. La velocidad lineal de este punto será:
$$\vec{v} = \vec{\omega}\times \vec{r}$$
O en su expresión escalar:
$$ v = \omega \cdot R$$
Si representamos la velocidad como un vector su dirección será tangente a la circunferencia descrita por el punto y su sentido el de avance del punto. La velocidad angular se representa por un vector en la dirección del eje de giro, es decir perpendicular a la circunferencia descrita.
El ángulo girado en un periodo de tiempo T será:
$$\theta = \omega \cdot T$$
Movimiento Circular Uniformemente Variado
Dado que seguimos considerando movimientos circulares, estamos tratando el movimiento plano. Todos los vectores que indiquen tanto la posición como las velocidades estarán incluidos en ese plano. Las velocidades y aceleraciones angulares se consideran perpendiculares al plano, en la dirección del eje en torno al que se produce el movimiento de giro.
En el movimiento uniformemente variado, existe una aceleración constante que produce la variación uniforme de la velocidad. Esta aceleración la designaremos por \(\alpha\) y al igual que en el caso del movimiento rectilíneo será la derivada de la velocidad angular \(\omega\) respecto del tiempo.
$$\vec{\alpha} = {d\vec{\omega} \over dt}$$
O en su expresión escalar:
$$\alpha = {d\omega \over dt}$$
De forma análoga a como hicimos en la entrada sobre M.R.U. y M.R.U.A. Si partimos de una velocidad angular inicial de \(\omega _0\) el ángulo girado en un periodo de tiempo T será:
$$\theta = {1 \over 2} \cdot \alpha \cdot T^2 + \omega _0 \cdot T$$
Como podemos ver existe una analogía entre el movimiento lineal y el circular en las ecuaciones. Si sustituimos desplazamientos por ángulos, y velocidades y aceleraciones lineales por sus correspondientes angulares, las ecuaciones son idénticas.
Otros tipos de movimientos.
En los movimiento rectilíneos, no podemos hablar de velocidades o aceleraciones angulares. Los vectores que definen el movimiento se encuentran en el mismo plano y podemos simplificar las expresiones vectoriales sustituyéndolas por expresiones escalares.
En los movimientos circulares los desplazamientos, velocidades y aceleraciones lineales se encuentran en el mismo plano mientras que las velocidades y aceleraciones angulares serán siempre perpendiculares a este plano. Si consideramos como origen de coordenadas el centro del movimiento circular, la multiplicación vectorial de aceleraciones angulares y vectores posición.
Cuando estas condiciones no se cumplen no podemos hablar de movimiento circular. En estos casos ya no podemos utilizar las expresiones no vectoriales directamente y debemos trabajar con expresiones vectoriales pues las direcciones de los vectores velocidad o aceleración angular, no son perpendiculares a los desplazamientos ni a las velocidades lineales en todo momento.
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