Diferenciales y derivadas

Hablamos de cambio, de cambio a lo largo del tiempo de la posición de los objetos, de cinemática. Por lo tanto es inevitable recuperar este repudiado concepto matemático y revestirlo de normalidad para descubrir la sencillez que encierra. A muchos nos traen malos recuerdos, sobretodo cuando las relacionamos con sus primas las integrales, en realidad son dos caras de la misma moneda.


Una derivada describe cómo varía una magnitud al variar otra, no hay más. Por ejemplo, cuando afirmamos que la velocidad es la variación del desplazamiento, o del espacio recorrido, con el tiempo estamos diciendo que si sé la velocidad constante a la que circulo por una carretera, puedo saber cuantos kilómetros recorreré con mi coche en un determinado tiempo.

¿Cómo expreso todo esto matemáticamente? Supongamos que mi velocidad es de 100 km/h. Podemos aplicar una regla de tres simple para saber la distancia que voy a recorrer en 2 horas, simplemente escribo: $$distancia = 100 km/h \times 2 h = 200 km$$ O bien a la inversa, si en 2 horas recorro 200 kilómetros ¿Cuál ha sido mi velocidad media? \[velocidad\ media = {{200 km}\over{2h}} = 100 km/h\]
Hasta aquí todos nos manejamos con más o menos fluidez trabajando con estos conceptos, pero en las dos ecuaciones anteriores se encierra una pequeña trampa y es que no son exactamente una la inversa de la otra porque en la primera conozco la velocidad de mi vehículo en cada instante y sé que es constante, mientras que en la segunda, lo único que puedo conocer es la velocidad media. ¿Cómo puedo saber mi velocidad en cada instante? No puedo, necesito más información, necesito saber qué espacio he recorrido en cada  instante para poder conocer mi velocidad en cada instante.

Este es el concepto  de derivada y lo expresamos de la siguiente manera siendo v la velocidad, s el desplazamiento y t el tiempo, la velocidad instantánea es la derivada del desplazamiento respecto del tiempo:$$v={{ds} \over {dt}}$$

O bien, vectorialmente:
$$\vec{v}={{d\vec{s}} \over {dt}}$$

Al igual que cuando explicamos en una entrada anterior el concepto de vector, es importante no dejarnos confundir por lo exótico de las representaciones, no debe intimidarnos la expresión anterior, representa a la derivada del  desplazamiento respecto del tiempo, o a la variación del desplazamiento en cada instante de tiempo, o simplemente a la velocidad instantánea. La expresión vectorial tiene un sentido más general y es de utilidad manifiesta cuando varía la dirección de la velocidad, por ejemplo en el movimiento giratorio ¿Podríamos, en tal caso afirmar que su velocidad es constante? No, de ser así nadie se marearía en un tío vivo. En caso de duda siempre podemos recurrir a  experiencias quinestésicas, es lo bueno que tiene la física clásica.