Comentarios sobre cinemática: M.R.U. y M.R.U.A

Una vez que hemos repasado sucintamente los conceptos de vector, derivada e integral podemos estudiar su aplicación al movimiento de un cuerpo.

El movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.).

Es el movimiento más sencillo que vamos a describir. Se trata de un movimiento en el que la velocidad no varía de dirección por lo que es rectilíneo, ni de magnitud, por lo que es uniforme. En este caso podemos olvidarnos de los vectores pues toda la información que necesitamos para resolver este tipo de problemas es escalar, y simplificar, al igual que rectificar, es de sabios. Si la velocidad es constante, el desplazamiento en un determinado tiempo T lo obtenemos de la ecuación 4. Como la velocidad es constante puedo sacarla como factor común fuera de la suma, es decir la integral, y nos quedaría:
$$Desplazamiento\ total = \displaystyle\int_{}^{} ds = \int{}^{} v\cdot dt = v \displaystyle\int_{}^{} dt = v \cdot T$$

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M.R.U.A.)

Consiste en un movimiento rectilíneo, por lo que la dirección de la velocidad no varía, en el que la aceleración es constante, lo que produce una variación constante de la velocidad. En este caso, al no producirse variación en la dirección de la velocidad podemos seguir utilizando las ecuaciones no vectoriales, es decir las escalares. Aparece aquí un nuevo concepto que no hemos definido hasta ahora, se trata de la aceleración. La aceleración es la variación de la velocidad en cada instante. Recordando lo que hemos visto en entradas anteriores de este blog, en el caso de la velocidad, podemos afirmar lo siguiente:
$$a = {dv \over dt}$$
Recordemos que por \(dv\) entendemos una pequeñisima variación de la velocidad en un instante determinado y podemos despejarla de la ecuación anterior quedando de la siguiente forma:
$$ dv = a \cdot dt$$

Estas ecuaciones también tienen sus versiones vectoriales.
$$ d\vec{v} = \vec{a} \cdot dt$$

La velocidad al cabo de un tiempo T será:
$$ v =  \displaystyle\int_{}^{} a \cdot dt = a \displaystyle\int_{}^{} dt = a \cdot T + v_0 $$


Recordemos que una integral es simplemente una suma de elementos diferenciales, es decir, infinitamente pequeños.

El termino \(v_0\) es lo que en integración se llama condición inicial. Si nuestro vehículo parte de una velocidad constante \(v_0\) en un momento inicial y a partir de ese momento se aplica una aceleración, la velocidad final será la suma de la velocidad inicial \(v_0\) más la variación de la velocidad producida por la aceleración en un periodo determinado. En cada instante t la velocidad es \(v = a \cdot t\). Cuando la resolución de integrales no forma parte del currículo del alumno, es importante que nos aseguremos de que el concepto se comprende y la resolución se puede mostrar mediante tablas de integrales ya resueltas.

Para calcular el desplazamiento o distancia recorrida podemos sumar los infinitos elementos \(v \cdot dt\) mediante la correspondiente expresión integral y obtenemos los siguiente para un tiempo total T:

$$ S = \displaystyle\int_{}^{} v + dt = \displaystyle\int_{}^{} (a\cdot t + v_0) dt = a \displaystyle\int_{}^{}t \cdot dt + \displaystyle\int_{}^{} v_0 \cdot dt = {1\over 2} \cdot a \cdot T² + v_0 \cdot T $$

Como ejercicio podemos tratar de obtener la siguiente ecuación a partir de las dos anteriores; despejando T en la primera y sustituyendo en la segunda.
$$ v^2 = 2\cdot a \cdot S + {v_0}^2 $$